【内容紹介】

2次方程式には古代から知られる解の公式があり、3次方程式、4次方程式にもそれぞれカルダーノの公式、フェラーリの公式と呼ばれる16世紀に発見された解の公式がある。“5次以上の方程式にも同様の代数的な解の公式は存在するか”という問題は、長らく未解決であったが、19世紀前半、N・アーベル、P・ルフィニによって否定的に解決された。E・ガロア（Évariste Galois、1811〜1832年）は、代数方程式の可解性、つまりこのような解の公式が存在するかどうかは解の対称性を表す「群」の性質によって判定できることを示し、その応用としてアーベル=ルフィニの定理の画期的な再証明を与えたが、若くして悲劇的な死を遂げた。彼の理論は、その先駆性ゆえにしばらく受け入れられなかったが、後に整理された群の理論、新しく整備された「体の代数拡大」の理論とともにまとめられて、今日では「ガロア理論」として広く利用されている。これは、例えば、代数的整数論、類体論、数論幾何学などの数論の諸理論の基礎として位置付けられており、現代数学の多くの理論のひな形をなす重要な理論である。

　本書では、「代数方程式の可解性」、「アーベル=ルフィニの定理の証明」を目標に、現代数学の立場からガロア理論の解説を行う。また、「ギリシアの3大作図問題」、近年の話題からその幾何学的応用についても触れ、特に最近筆者によって解決された平面上の「角の有理二等分問題」についても簡単な解説を述べる。

本書は、類書の中では珍しい下記の4点の特長をあわせもつ。

　（1）初学者向けの構成：文系の高校数学程度の知識で読み始められるように、集合論の次の出発点を、多くの専門書で前提知識とされる抽象度の高い線形代数学や群論ではなく、より具体的なイメージをもちやすい環論とした。また、過度な抽象化はできるだけ避けて、段階的な解説、直接的な定理の証明を心掛けた。具体的なイメージをもって読み進められるように、例の解説にも多くの紙面を割き、例に対応した演習問題を通して理解の定着がはかれるようにした。演習問題の題材には、可能な限り理論的に含蓄があるものを選んだ。

　（2）自己完結性（Self-Containedであること）：線形代数学や群論などの予備知識を必要とせずに、1冊で代数学の基礎からガロア理論の本論までを学べるように書いた。難解な部分も含めて、重要な証明の省略（啓蒙書では多い）は原則行わない。

　（3）ミニマルであること：できるだけ寄り道をせず、ガロア理論の理解に必要な概念だけを習得しながら本論にたどり着けるような構成とした。多くの教科書で取り上げられるような体論の進んだ話題は割愛し、代わりに各項目の解説を充実させることで、理論の本質がよく見通せるようにした。周辺の諸概念・定理には深入りしないため、短期間で理論の本質が簡潔に理解できる。

　（4）参考書スタイルの解説：2色刷りの行間を埋める解説、要点のまとめ、諸概念・定理ごとの演習問題を通して、理解しすいように各所で工夫を凝らした。

　本書がガロア理論を理解するための一助となり、深淵で美しい数学の世界を知るきっかけとなれば幸いである。

【目次】

はじめに

第1章　集合

1.1　集合

1　集合

2　部分集合

3　和集合、集合の共通部分

4　集合の直積

1.2　写像

5　写像

6　写像の合成

7　単射、全射、全単射

8　集合の像、逆像

解答例

第2章　多項式

2.1　環、体

9　環、整域

10　整数倍、べき乗

11　二項定理

12　体

13　商体

14　部分環、部分体

15　環 Z /n Z

16　環の標数

2.2　多項式

17　多項式

18　多項式の和、積の次数

2.3　除法の定理

19　除法の定理

20　倍多項式、約多項式

21　ユークリッドの互除法

2.4　既約多項式

22　既約多項式

23　ユークリッドの補題

24　多項式の既約分解

25　ガウスの補題†

26　アイゼンシュタインの判定法†

2.5　多変数多項式、有理関数

27　多変数多項式、有理関数

解答例

第3章　方程式

3.1　方程式

28　多項式への代入、多項式の根

29　有理根定理†

3.2　因数定理

30　因数定理

31　分解体

32　代数学の基本定理†

3.3　最小多項式

33　最小多項式

3.4　分離多項式

34　方程式の重解

35　分離多項式

3.5　解と係数の関係

36　解と係数の関係

解答例

第4章　解の公式

4.1　二項方程式

37　べき根

38　1のべき根

39　二項方程式の解の公式

4.2　2次方程式

40　2次方程式の解の公式

4.3　3次方程式

41　3次方程式の解の公式

4.4　4次方程式

42　複2次方程式

43　4次方程式の解の公式

解答例

第5章　群

5.1　群、部分群

44　群

45　巡回群

46　対称群

47　群の直積

48　元の位数

49　部分群

50　部分群の共通部分

51　左側剰余類、右側剰余類

52　ラグランジュの定理

5.2　正規部分群、剰余群

53　正規部分群

54　剰余群

55　正規化群、群の中心

56　共役元、類等式†

5.3　群の準同型

57　群の準同型

58　準同型の核、像

59　群の同型定理

5.4　巡回群、コーシーの定理

60　有限巡回群の同型

61　巡回群の部分群、剰余群

62　素数位数の群

63　原始根

64　コーシーの定理†

5.5　対称群の構造

65　置換の互換の積への分解

66　対称群、交代群の生成元

67　可解群

68　可解群の部分群、剰余群

69　対称群の可解性、非可解性

解答例

第6章　体とガロア理論

6.1　体の代数拡大

70　体の有限次拡大

71　体の拡大における有限性の連鎖

72　体の代数拡大

73　体の分離拡大

6.2　体の準同型

74　体の準同型

75　代数方程式の共役解

76　体の自己同型群

77　体の正規拡大

6.3　ガロア群

78　ガロア群

79　x^n-1=0のガロア群

80　x^n-a=0のガロア群

6.4　ガロア理論の基本定理

81　ガロア拡大の列

82　固定体

83　ガロア理論の基本定理

6.5　方程式がべき根で解ける条件

84　体のべき根拡大

85　方程式がべき根で解けるための必要十分条件

86　べき根で解けない方程式†

87　一般代数方程式の解の公式の存在条件

解答例

第7章　体論とガロア理論の応用

7.1　定規とコンパスによる作図

88　作図可能性

89　作図可能性の判定法

90　ギリシアの3大作図問題

7.2　円に内接する多角形の面積の公式

91　円に内接する多角形の面積の公式

解答例

付録1　理論的補足

付録2　ペル方程式とその幾何学的応用

後注

参考文献

索引