内容紹介

※この商品は固定レイアウトで作成されており、タブレットなど大きいディスプレイを備えた端末で読むことに適しています。また、文字列のハイライトや検索、辞書の参照、引用などの機能が使用できません。※PDF版をご希望の方はGihyo Digital Publishingも併せてご覧ください。

【源氏香図が数学的な意味を持っていた！和算を知るにはもってこいの1冊。】

関孝和がベルヌーイ数を発見していたことは特に有名ですが、和算家が大きく貢献した有名な数が他にもあります。関孝和の孫弟子にあたる松永良弼（よしすけ）によるベル数や、坂正永（まさのぶ）によるスターリング数などです。和算家たちはこれらの数を「場合の数」と捉えます。一方、スターリングなど西洋の数学者たちは「代数」と捉えていました。スターリング数は、ベルヌーイ数に関する重要なクラウゼン-フォンシュタウトの定理に欠かせない重要な数でもあります。和算と西洋数学によるそれらの数の捉え方の違いを通して、それらがどのようにしてベルヌーイ数へとつながっていくのか、わかりやすく解説します。題材として「源氏香図」を使います。これは単なるデザインではなく、数学的な意味をもつもので、源氏香52通りはベル数とも呼ばれています。楽しみながら数学を学ぶことができる1冊です。

■こんな方におすすめ

・和算と西洋数学のつながり、離散数学、組み合わせ数学に興味がある人、和算家が関わった有名な数を知りたい人など。

■目次

1章 源氏香のミステリー

　　日本発の研究とは…

　　「源氏香図」52個に『源氏物語』54帖が…

　　「源氏香」から和算家達が発見した式とは…

　　「二項係数」を並べて「パスカルの三角形」を作ろう

　　「源氏香図」52個を描き上げよう

　　源氏香図のミステリー（1）

　　コラム１10種香は何通りか（1）

2章 和算家のスターリング数

　　和算家達のさらなる発見とは…

　　漸化式から「第2種スターリング数の三角形」を作ろう

　　「n＝4の香図」を描き上げよう

　　源氏香図のミステリー（2）

　　漸化式から「第1種スターリング数の三角形」を作ろう

　　「置換」を「プレゼント交換」で見てみよう

　　「置換」を「サイクルの個数」で見てみよう

　　nを増やして「置換」のサイクルを見ていこう

　　コラム２10種香は何通りか（2）

3章 スターリングのスターリング数

　　「二項係数」の関係式を代数の側面から見てみよう

　　二項係数の「一般項」を場合の数から求めよう

　　「べき乗」を「下降階乗」で表そう

　　「べき乗」を「上昇階乗」で表そう

　　第2種スターリング数の三角形で「列」に着目しよう

　　何を展開すると第２種スターリング数が現れるか

　　第2種スターリング数の「一般項」はどうなるか

　　場合の数の「包除原理」から一般項を求めよう

　　「n!」を「二項係数」で表そう

　　第1種スターリング数の三角形で「列」に着目しよう

　　「第1種スターリング数の多項式」を因数分解しよう

　　「上昇階乗」を「べき乗」で表そう

　　「下降階乗」を「べき乗」で表そう

　　「べき乗」→「下降（上昇）階乗」→「べき乗」

　　コラム３攪乱順列とモンモール数

4章 ベル数と無限級数

　　無限和を、ベルヌーイ数を用いて表そう

　　無限和を、ベル数を用いて表そう（1）

　　ベル数の「母関数」を求めよう

　　無限和を、ベル数を用いて表そう（2）

　　e^xから始め、xをかけて微分していくと…

　　xをかけ、それを微分した式とたし算すると…

　　無限級数から第2種スターリング数の「一般項」を…

　　第2種スターリング数の「母関数」を求めよう

　　第1種スターリング数の「母関数」を求めよう

　　コラム４ベルヌーイ数と「べき乗和の公式」

5章 スターリングにとっては同一種

　　「パスカルの三角形」をさかのぼろう（1）

　　「マイナス行」を「二項係数」で表そう

　　「マイナス行」に現れた「重複組合せ」とは…

　　(1＋x)^ーnの展開に着目しよう（1）

　　「パスカルの三角形」をさかのぼろう（2）

　　(1＋x)^ーnの展開に着目しよう（2）

　　「第2種スターリング数の三角形」をさかのぼろう

　　「マイナス行」に現れた「第1種スターリング数」

　　「逆数のべき乗」を表そう（1）

　　「逆数のべき乗」を表そう（２）

　　「第1種スターリング数の三角形」をさかのぼろう

　　「マイナス行」に現れた「第2種スターリング数」

　　「逆数のべき乗」を用いて表そう

　　コラム５スターリング数の性質

6章 不思議な「クラウゼンーフォンシュタウトの定理」

　　「上昇階乗」を用いる「積和の公式」とは…

　　「べき乗和」を「スターリング数」で表そう

　　「ベルヌーイ数」を「第2種スターリング数」で表そう

　　「クラウゼンーフォンシュタウトの定理」を見ていこう

　　「第2種スターリング数」を素数pで割った「余り」

　　偶数番目のベルヌーイ数B_2nの「分母」を見てみよう

　　「整数ー1/素数ー1/素数ー…ー1/素数」の「整数」を求めよう

　　「ベルヌーイ数」と「スターリング数」が絡んだ式

■著者プロフィール

小林 吹代（こばやし・ふきよ）：1954年、福井県生まれ。1979年、名古屋大学大学院理学研究科博士課程（前期課程）修了。2014年、介護のため早期退職し、現在に至る。著書に、『ピタゴラス数を生み出す行列のはなし』（ベレ出版）、『ガロアの数学「体」入門〜魔円陣とオイラー方陣を例に〜』『正多面体は本当に5種類か〜やわらかい幾何はすべてここからはじまる〜』（技術評論社）など。