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ゼータへの最初の一歩ベルヌーイ数~「べき乗和」と素数で割った「余り」の驚くべき関係~

ゼータへの最初の一歩 ベルヌーイ数  〜「べき乗和」と素数で割った「余り」の驚くべき関係〜 [電子書籍版]
小林 吹代

1,980(税込)

商品情報

  • 著者:   小林 吹代
  • シリーズ名:  知りたい!サイエンス
  • 発売日:  2023年05月01日
  • 出版社:  技術評論社
  • 商品番号:  9784297134624
  • 言語:  日本語
  • 対応端末:   電子書籍リーダー, Android, iPhone, iPad, デスクトップアプリ

商品説明

内容紹介

※この商品は固定レイアウトで作成されており、タブレットなど大きいディスプレイを備えた端末で読むことに適しています。また、文字列のハイライトや検索、辞書の参照、引用などの機能が使用できません。※PDF版をご希望の方はGihyo Digital Publishingも併せてご覧ください。


【デタラメに見えるベルヌーイ数のナゾが明らかになります!】

ベルヌーイという数学者について見聞きしたことがある人は多いでしょう。ヤコブ・ベルヌーイによって発見されたベルヌーイ数は美しいと言われ、高校入試や数学オリンピックにも出題されます。

本書では、一見でたらめなベルヌーイ数を、無限級数の和に着目し読み解いていきます。リーマン予想で有名なゼータ関数への最初の一歩としても、お勧めの1冊です。オイラーやリーマンの考えた数学も丁寧に解説するので、彼らが編み出した数学を知りたい方にも楽しんでいただけます。

ベルヌーイ数に対して「通分の逆」という操作を行うと、美しい規則が見えてきます。その操作の楽しさと規則の美しさをぜひ堪能してください。


(こんな方におすすめ)

・数学が好きな中学生以上の方々、ベルヌーイに関心がある人、ゼータ関数に興味がある人、リーマン、オイラー、ラマヌジャンなど大数学者のファンのみなさん。


(目次)

1章 魅惑のベルヌーイ数

  「通分の逆」をやってみよう(1)

  「通分の逆」をやってみよう(2)

  「整数ー1/素数ー1/素数ー … ー1/素数」

  「分母」に現れる「素数の正体」

  クラウゼンーフォンシュタウトの定理

  Column 01 フィボナッチ数列と「見たままの数列」

2章 降臨!「ファウルハーバーの公式」

  ベルヌーイ数の作り方

  二項定理

  ベルヌーイ数と二項定理

  「べき乗和」の公式(1)

  「べき乗和」の漸化式

  「べき乗和」の連立方程式

  「べき乗和」≒「パスカルの三角形」×「ベルヌーイ数」

  ファウルハーバーの公式

  「べき乗和」の公式(2)

  奇数番目のベルヌーイ数

  Column 02 パスカルの三角形とフィボナッチ数列

3章 ベルヌーイ数を生み出す関数

  ベルヌーイ数の定義

  形式的べき級数

  ベルヌーイ数の母関数

  母関数から始める

  母関数から始めた漸化式

  母関数から始めた「べき乗和」の公式

  ファウルハーバーの公式

  Column 03 「ビネの公式」と黄金数

4章 ベルヌーイと無限級数

  0.999 …… =1

  無限和を求めよう

  ベルヌーイの無限和

  「ベルヌーイの無限和」の漸化式

  無限和の漸化式

  Column 04 1/2^1+2/2^2+3/2^3+ …… =2

5章 オイラーと「バーゼル問題」

  「積和」の公式

  「逆数の積和」の公式

  バーゼル問題

  有界な単調増加数列

  バーゼル問題の解法

  Column 05 フィボナッチ数列と「89分の1」

6章 複素数から「(続)バーゼル問題」

  美しい等式

  「i^i」はどんな数?

  複素関数「e^z」

  「e^z」で表してみよう

  「バーゼル問題」の続き(1)

  「πx cot πx」を2通りに表そう

  「バーゼル問題」の続き(2)

  「バーゼル問題」の続き(3)

  Column 06 ガウスと対数関数

7章オイラーの「月と太陽」

  拡張(接続)してみよう

  オイラーの「月と太陽」

  ガンマ関数

  ガンマ関数の拡張

  ゼータ関数の積分表示

  ζ(x)を「x>1」から「x>ーn」へ

  負の整数でのゼータの値

  Column 07 ガンマ関数と三角関数

8章 ガウスの時計算で見る「べき乗和」

  循環小数

  素数を法とした「定理」

  mod 3で見る「べき乗和」

  mod 5で見る「べき乗和」

  k≡0(mod pー1)の「k乗和」の周期

  k≡奇数(mod pー1)の「k乗和」の周期

  k≡偶数(mod pー1)の「k乗和」の周期

  周期の長さ

  Column 08「フィボナッチ数列もどき」の10項和

9章 ガウスの時計算で見る「逆数のべき乗和」

  問題は「約分」にあり

  mod 3で見る「逆数のべき乗和」の分子

  mod 5で見る「逆数のべき乗和」の分子

  mod 7で見る「逆数のべき乗和」の分子

  mod 7で見るn=6の「逆数のべき乗和」の分子

  mod 11で見るn=10の「逆数のべき乗和」の分子

  mod 11で見るT_k(10)の分子(k=10、30)

  mod 11で見るT_k(10)の分子(k=50、70)

  mod 11で見るT_k(10)の分子(k=250、1250、…)

  mod 11での「T_k(10)の分子」のまとめ

  mod pで「T_k(pー1)の分子」が周期的な例

  おわりに

  Column 09 ガウスの時計算で見る「フィボナッチ数列」


(著者プロフィール)

小林 吹代(こばやし ふきよ):1954年福井県生まれ。1979年名古屋大学大学院理学研究科博士課程(前期課程)修了。2014年介護のため早期退職し、現在に至る。著書に『ピタゴラス数を生み出す行列のはなし』(ベレ出版)『ガロア理論「超」入門〜方程式と図形の関係から考える〜』『ガロアの数学「体」入門〜魔円陣とオイラー方陣を例に〜』『オイラーから始まる素数の不思議な見つけ方〜分割数や3角数・4角数などから考える〜』(以上、技術評論社)などがある。【HP】12さんすう34 数学5 Go !


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