内容紹介

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【デタラメに見えるベルヌーイ数のナゾが明らかになります！】

ベルヌーイという数学者について見聞きしたことがある人は多いでしょう。ヤコブ・ベルヌーイによって発見されたベルヌーイ数は美しいと言われ、高校入試や数学オリンピックにも出題されます。

本書では、一見でたらめなベルヌーイ数を、無限級数の和に着目し読み解いていきます。リーマン予想で有名なゼータ関数への最初の一歩としても、お勧めの1冊です。オイラーやリーマンの考えた数学も丁寧に解説するので、彼らが編み出した数学を知りたい方にも楽しんでいただけます。

ベルヌーイ数に対して「通分の逆」という操作を行うと、美しい規則が見えてきます。その操作の楽しさと規則の美しさをぜひ堪能してください。

（こんな方におすすめ）

・数学が好きな中学生以上の方々、ベルヌーイに関心がある人、ゼータ関数に興味がある人、リーマン、オイラー、ラマヌジャンなど大数学者のファンのみなさん。

（目次）

1章 魅惑のベルヌーイ数

　　「通分の逆」をやってみよう（1）

　　「通分の逆」をやってみよう（2）

　　「整数ー1/素数ー1/素数ー … ー1/素数」

　　「分母」に現れる「素数の正体」

　　クラウゼンーフォンシュタウトの定理

　　Column 01 フィボナッチ数列と「見たままの数列」

2章 降臨！「ファウルハーバーの公式」

　　ベルヌーイ数の作り方

　　二項定理

　　ベルヌーイ数と二項定理

　　「べき乗和」の公式（1）

　　「べき乗和」の漸化式

　　「べき乗和」の連立方程式

　　「べき乗和」≒「パスカルの三角形」×「ベルヌーイ数」

　　ファウルハーバーの公式

　　「べき乗和」の公式（2）

　　奇数番目のベルヌーイ数

　　Column 02 パスカルの三角形とフィボナッチ数列

3章 ベルヌーイ数を生み出す関数

　　ベルヌーイ数の定義

　　形式的べき級数

　　ベルヌーイ数の母関数

　　母関数から始める

　　母関数から始めた漸化式

　　母関数から始めた「べき乗和」の公式

　　ファウルハーバーの公式

　　Column 03 「ビネの公式」と黄金数

4章 ベルヌーイと無限級数

　　0.999 …… ＝1

　　無限和を求めよう

　　ベルヌーイの無限和

　　「ベルヌーイの無限和」の漸化式

　　無限和の漸化式

　　Column 04 1/2^1＋2/2^2＋3/2^3＋ …… ＝2

5章 オイラーと「バーゼル問題」

　　「積和」の公式

　　「逆数の積和」の公式

　　バーゼル問題

　　有界な単調増加数列

　　バーゼル問題の解法

　　Column 05 フィボナッチ数列と「89分の1」

6章 複素数から「（続）バーゼル問題」

　　美しい等式

　　「i^i」はどんな数？

　　複素関数「e^z」

　　「e^z」で表してみよう

　　「バーゼル問題」の続き（1）

　　「πx cot πx」を2通りに表そう

　　「バーゼル問題」の続き（2）

　　「バーゼル問題」の続き（3）

　　Column 06 ガウスと対数関数

7章オイラーの「月と太陽」

　　拡張（接続）してみよう

　　オイラーの「月と太陽」

　　ガンマ関数

　　ガンマ関数の拡張

　　ゼータ関数の積分表示

　　ζ(x)を「x>1」から「x>ーn」へ

　　負の整数でのゼータの値

　　Column 07 ガンマ関数と三角関数

8章 ガウスの時計算で見る「べき乗和」

　　循環小数

　　素数を法とした「定理」

　　mod 3で見る「べき乗和」

　　mod 5で見る「べき乗和」

　　k≡0（mod pー1）の「k乗和」の周期

　　k≡奇数（mod pー1）の「k乗和」の周期

　　k≡偶数（mod pー1）の「k乗和」の周期

　　周期の長さ

　　Column 08「フィボナッチ数列もどき」の10項和

9章 ガウスの時計算で見る「逆数のべき乗和」

　　問題は「約分」にあり

　　mod 3で見る「逆数のべき乗和」の分子

　　mod 5で見る「逆数のべき乗和」の分子

　　mod 7で見る「逆数のべき乗和」の分子

　　mod 7で見るn＝6の「逆数のべき乗和」の分子

　　mod 11で見るn＝10の「逆数のべき乗和」の分子

　　mod 11で見るT_k（10）の分子（k＝10、30）

　　mod 11で見るT_k（10）の分子（k＝50、70）

　　mod 11で見るT_k（10）の分子（k＝250、1250、…）

　　mod 11での「T_k（10）の分子」のまとめ

　　mod pで「T_k（pー1）の分子」が周期的な例

　　おわりに

　　Column 09 ガウスの時計算で見る「フィボナッチ数列」

(著者プロフィール)

小林 吹代（こばやし ふきよ）：1954年福井県生まれ。1979年名古屋大学大学院理学研究科博士課程（前期課程）修了。2014年介護のため早期退職し、現在に至る。著書に『ピタゴラス数を生み出す行列のはなし』（ベレ出版）『ガロア理論「超」入門〜方程式と図形の関係から考える〜』『ガロアの数学「体」入門〜魔円陣とオイラー方陣を例に〜』『オイラーから始まる素数の不思議な見つけ方〜分割数や３角数・４角数などから考える〜』（以上、技術評論社）などがある。【HP】１２さんすう３４ 数学５ Go !