内容紹介

（概要）

※この商品は固定レイアウトで作成されており，タブレットなど大きいディスプレイを備えた端末で読むことに適しています。また，文字列のハイライトや検索，辞書の参照，引用などの機能が使用できません。※PDF版をご希望の方は Gihyo Digital Publishing ( https://gihyo.jp/mk/dp/ebook/2021/978-4-297-12272-0 )も合わせてご覧ください。

数学界最高のナゾといってもよい「素数」の本当の魅力を徹底的に解剖します。素数とは１と自分自身以外に約数を持たない2以上の整数です。定義はとてもシンプルですが2000年以上にわたり数学者の研究対象になってきました。それにもかかわらず解明されていないナゾが多く存在します。そしてそんな素数は暗号として私たちの日常に大きく関わっています。本書は、素数の現れ方、判定法、個数と素数定理、存在定理であるベルトラン＝チェビシェフの定理、RSA暗号と因数分解、さらにほかの書籍ではあまり語られていない虚数・複素数と素数の関係や組み合せ論と素数の関係などに迫ります。最後では本書の総仕上げとして、ゼータ関数、リーマン予想と素数について解説します。定理や証明の理解に必要な数列、対数、微分積分、虚数などについても丁寧に取り上げているので、安心して読み進めることができます。

（こんな方におすすめ）

・素数に興味がある人。素数定理な素数に関する定理をきちんと知りたい人。今度こそ素数を理解したいと思っている人。

（目次）

【入門編】 素数ほど面白い数はない

　　素数ってなに？なんで注目されるの？

　　数学者は素数が大好き

　　素数は不規則に出現する

　　素数の末尾はいくつ？

　　素数の末尾に偏りはあるの？

　　双子素数予想

　　ゴールドバッハ予想

　　メルセンヌ素数

【初段編】 なぜ、素数は無限にある？

　　素数は無限にある

　　ユークリッド-マリン数列

　　もう一つのユークリッド-マリン数列

　　4で割った余りでの分類

　　4n＋3型素数が無限にある理由

　　4n+1型素数が無限にある理由

　　4n+1型素数と4n+3型素数は同じくらいある

【二段編】 数列の中の素数

　　素数を生み出す式

　　等差数列の中の素数

　　等差数列を成す素数

　　「素数による等差数列の定理」を証明しよう

　　いくらでも長い「素数による等差数列」が存在する

　　2次式の数列の素数

　　指数関数で作られる数列

　　リュカ-レーマーの判定法

　　フェルマー数とフェルマー素数

　　オイラーのアプローチ

　　素数を生成する多項式

【三段編】 対数関数と素数

　　対数関数と素数

　　底が2の対数関数

　　対数法則ってどんな法則？

　　ネピア定数と自然対数

　　素数の個数を表す関数

　　偉大なる素数定理

　　素数定理は、どの程度の近似を実現するか？

　　素数の「出現確率」

　　素数を数えるチェビシェフ関数

　　チェビシェフの不等式

　　チェビシェフ第2関数と素数定理

　　チェビシェフ関数定理の証明を直感的に理解する

【四段編】 合同式と素数とRSA暗号 〜フェルマーの小定理、オイラーの定理

　　数が社会で役立つ時代

　　RSA暗号とはどんな暗号か

　　フェルマーの小定理

　　擬素数

　　オイラーの定理

　　ウィルソンの定理

　　合同になじもう

　　合同式の操作は等式のものとほとんど同じ

　　定理たちを証明しよう

　　オイラーの定理の証明

　　ウィルソンの定理は、「逆数」と関係する

　　RSA暗号を支える原理

　　なぜ、 難攻不落の暗号なのか？

【五段編】 順列・組合せと素数 〜素数定理への最初のアプローチ

　　順列・組合せと素数は仲良し

　　nCrの公式を理解する

　　2項定理

　　組合せ数からフェルマーの小定理へ

　　nCrは特別な存在

　　2nCnの素因数を調べる

　　2nを割った商が奇数の素数

　　2nCnの近似素因数分解

　　組合せ数2nCnの素因数分解

　　2nCnの大きさをおおざっぱに見積もる

　　いよいよ、素数定理のからくりを解明する

【六段編】 無限和と素数 〜オイラーの大発見

　　オイラーの新発見

　　無限個の数を加え合わせる

　　有限になる無限和・無限になる無限和

　　無限和が教えてくれること

　　エルデシュ分解

　　「オイラーの素数定理」を証明しよう

　　双子素数の逆数和

　　エルデシュ分解のパワー

【七段編】 虚数と素数

　　不思議な数・虚数

　　フェルマーの2平方定理

　　空想の楽園〜複素数

　　2次元の数世界〜複素数

　　ガウス整数

　　2平方定理とガウス素数

　　平方剰余

　　ガウス素数と平方剰余

　　ー1は平方剰余となる素数

　　2次体の整数論が花開く

【八段編】 素数と微分積分

　　微分積分は数学最強のツール

　　微積分は素数とも相性がいい

　　関数を局所的に見る

　　微分係数は接線の傾き

　　極値への応用

　　2次近似を利用する

　　微分係数とランダウ記号

　　ランダウ記号を正式に定義しよう

　　微分係数は極限で求められる

　　多項式の微分係数

　　テイラー展開と無次元の多項式

　　1次近似式を集計する

　　素数と積分の関係

【九段編】 ラマヌジャンとベルトラン=チェビシェフの定理 〜ψ(x)による証明

　　ベルトラン予想

　　異色の天才ラマヌジャン

　　チェビシェフ第1関数とチェビシェフ第2関数

　　証明のナビを見ておく

　　階乗数の素因数分解

　　T(x)とψ(x)の関係を発見する

　　T(x)の値を近似する

　　チェビシェフ第2関数を評価する

　　証明を完成しよう

【A級編】複素数上の微分積分

【名人編】 ゼータ関数・リーマン予想・素数定理